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【數學哲學】數的本質:我知道 3 是質數,但 3 本身是什麼?

2017/11/7 — 18:17

數學是人類最重要的知識與學科。大多數人都學過數學,但很少人會像哲學家一樣用特別的眼光審視與關注數學的問題。譬如,我們當然知道 1+1=2 、 3 是質數、 4 是偶數,但很少人會追問:這些自然數 1 、2 、3 、4 ……到底是什麼?

對於上述問題,一個典型答法是:自然數就是我們在言說、書寫、計算時使用的符號,也就是你現在讀這文章時見到的數字記號:”1”、”2”、”3”、”4”。但問題並沒有那麼簡單。我們可以這樣想:我們知道「三」、「 3 」、「 three 」這三者同樣在表達同一個東西,即  { 3 }  這個概念;哲學家真正要問的是, { 3 } 這個概念到底是指稱什麼東西?這個概念真的只是指稱 「 3 」、 「三」、「 three 」這些數字符號嗎,還是指稱著自然數 3 本身?這疑問就像問「阿捷」、「 Bacchus Pang 」這些單稱詞表達著 { 阿捷 } 這個概念,而 { 阿捷 } 這個概念指稱著什麼-當然是阿捷這個具體的人,而不是「阿捷」這個單稱詞。

也許有人不明白上述問題在問些什麼,但這不是你或哲學家的過錯。因為這問題涉及非常抽象的哲學難題。現在,我們或許需要用更為簡單的方式表達哲學家的問題。

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古典語義學:形式句子 Fa 的意思與真值條件

我們不妨先考慮以下句子:

(A). 阿捷是哲學博客

(B). 牛頓是男性

(C). 愛因斯坦是科學家

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首先考慮 (A) 。 (A) 涉及單稱詞「阿捷」與「…是哲學博客」這謂詞。根據古典語義學,如果 (A) 是真,取決於兩個條件:

(1). 存在阿捷這樣的一個物件 (object) (即阿捷存在),而且

(2). 阿捷真的是哲學博客。

或者說,如果 (A) 為真,則

(1).「阿捷」這個單稱詞成功地指稱阿捷這個物件(因此阿捷是存在),而且

(2). 阿捷實際上具有【…是哲學博客】 的性質。

不難發現, (A) - (C) 都具有相同形式「 a 是 F 」,其中 a 為單稱詞、 F 為謂詞。這類形式的句子有時(例如在一階邏輯內)也會寫成「 Fa 」。

這類具有「 Fa 」形式的句子,它們的意思都是:對某個東西 a 的性質作出直接的描述。例如 (B) 宣稱牛頓這個物件(人)具有「男性」的性質、(C) 宣稱愛因斯坦這個物件(人)具有「科學家」的性質。

對於所有這類形式句子「 Fa 」,如果它們為真,即:

(1). 存在 a 這樣的物件,而且

(2). 物件 a 事實上具有性質 F 。

弗雷格論證:數學物件 (mathematical objects) 的存在

在此,我們再考慮以下數學語句:

(D). 3 是質數

(E). 4 是偶數

(F). 5 是單數

我們都知道 (D) - (F) 是真,而且它們顯然具有相同的「 Fa 」形式。因此,根據上述的分析,存在著數學物件 3 、 4 、 5 。

著名的數學家 Gottlob Frege 便是根據類似的方式論證數學物件的存在:

1. 如果數學語句為真,則這些語句的單稱詞(e.g.  3 是質數)和受到一階量化詞所約束的變元(e.g.存在著兩個無窮集合)都能夠成功指稱到數學物件。

2. 大多數被接受為數學定理的語句都為真。

3. 因此,數學物件存在。(一般來說,數學物件包括集合、數和函數)

這些數學物件到底是什麼東西?

也許你不以為然:「自然數(例如 3 )當然存在,否則我們怎樣使用它們作運算?你現在不就是把它寫出來了嗎?」

但是,正如本文一開始的分析,當我們說 3 存在,不是指「 3 」這個數字符號存在,而是指 3 這個數學物件存在,就像當我們說阿捷存在,不是說「阿捷」這個單稱詞存在,而是有阿捷這樣的物件存在。

問題是,當我們說阿捷、牛頓、喜馬拉雅山、電腦這些物件存在,我們並不會感到困惑,因為它們都是具體的存在物,它們都佔據時空位置,可以被我們觀察、感知到。然而,當我們說存在著數學物件 3 ,這個 3 到底是一個怎樣的存在物?

我們可以擦掉寫在黑板上「 3 」的數字符號,可以把「 3 」這個數字符號打在電腦上,但我們似乎無法擦掉或打出 3 本身。我們只是借助諸如「 3 」或「 three 」的符號來指稱它; 3 這個數本身,好像是一種抽象的、非時空的存在。

柏拉圖的數學理型論

假如你認為數學物件是一種抽象、非時空的存在,那麼你的看法便和大哲學家柏拉圖一樣。

柏拉圖是歷史上知名的數學哲學家。據說柏拉圖學院的入口處刻著「不懂幾何學者勿入」。柏拉圖認為我們身處的實現(物理)世界並不完美,經常變幻莫測。但他相信有一個完美的理型世界,在這個世界存在著真實 (reality) 而永恆不變的東西(他稱之為「理型」);而我們實現接觸到的事物都不過是這些理型的副本或影子吧了,就正如現實世界並無完美的圓形-完美的圓形只存在著於非時空領域的理型世界。

柏拉圖認為數學陳述具有永恆不變的特質(必然為真),數學物件也是永恆不滅( e.g. 圓形的理型是永恆不滅)。也許基於這點,他相信數學能為我們周圍變化流動的物理世界與理想完美的理型世界之間的鴻溝提供了搭橋。因此,他相信數學是瞭解實在而非表象的真正訓練。

傳統數學柏拉圖主義 (Classical Platonism)

柏拉圖的數學哲學觀包含了很多現今看來匪夷所思、難以接受的認識論或形上學觀點。但他部分對數學物件的本質的看法,卻為大多數稱為「傳統柏拉圖主義」的哲學家接納。這種傳統柏拉圖主義者認為:

1. 存在著數學物件[1];而且,

2. 數學物件是抽象物件,這種抽象物件是完全非物質、非心靈、非時空的。

根據這個觀點,自然數 3 、集合、函數都獨立於我們與思想存在,它們不存在於時空之內,也不是物理或心理物件。

不過,這種抽象的數學物件也並不容易令人接受,畢竟它們與我們一般接觸的具體物件太不同了,我們很難想像這種非時空的抽象物件到底是怎樣的東西。然而,傳統柏拉圖主義者會回應,只要認真深思熟悉考慮過各種立場與論證後,會發現數學柏拉圖主義是最合理的主張。

因此,當代數學哲學的核心課題之一,便是環繞傳統柏拉圖主義是否正確而展開。這些爭論後來因數學哲學發展的日益純熟而引入了更多理論立場,就像科學哲學上實在論與反實在論之爭一樣,數學哲學也引入了更為複雜的實在論與反實在論之爭(因此,不只是有「傳統柏拉圖主義 vs. 反傳統柏拉圖主義」之爭)。

(編按:下一篇章將會討論數學實在論與反實在論的基本爭論,以及這些爭論在數學和哲學上有什麼重要意義)

註腳

[1] 值得注意,在傳統柏拉圖主義的討論語境下,「物件 (object) 」並不用作泛指任何東西,它只特指承載性質的事物,即有別於性質 (property) 、關係 (relation) 或結構 (structure) 的事物。

參考資料

Stewart Sharpiro (2000). Thinking about Mathematics

Dov M. Gabbay, Paul Thagard, John Woods, eds.(2009). Philosophy of Mathematics 

Mark Balaguer (2001). Fictionalism in the Philosophy of Mathematics

Øystein Linnebo (2013). Platonism in the Philosophy of Mathematics

Otávio Bueno (2013). Nominalism in the Philosophy of Mathematics

Leon Horsten (2017). Philosophy of Mathematics

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